Philosophie der Mathematik: Platon und Aristoteles

Das MA-Seminar, das ich zu diesem Thema anbieten werde, soll ungefähr so aussehen. Die Konzeption ist noch nicht ganz abgeschlossen. Ich freue mich also über Anmerkungen, Hinweise und Ideen (nicht platonische). Und: Ich weiß, bei dem Thema läuft einigen das Wasser im Mund zusammen. Anderen nicht.

Platon

  1. 05.04.2019 Unterschied: antike und moderne Mathematik; Einführung in die platonische Ontologie; Eigenschaften von Ideen.
  2. 12.04.2019 Politeia 509e-511e: Liniengleichnis; Politeia 525c3-529b5: Mittelstellung der Zahlen/Zwei Arten, Mathematik zu betreiben.
  3. 26.04.2019 Philebos 17b-18e: Zahlen zwischen Einheit und Vielheit; Philebos 56c-57e: Zwei Arten Mathematik zu betreiben.
  4. 03.05.2019 Philebos 51c-d: Perfekte sensible geometrische Einheiten. Phaidon 101b-105b: Formen von Zahlen; Eigenschaften von Zahlen.
  5. 10.05.2019 Timaios 34b-36d: Weltseele und Zahlen.
  6. 17.05.2019 Timaios 31b-c: Mittelglieder und Proportionen im Dreidimensionalen; 52d-55c: Körper und Zahlen.
  7. 24.05.2019 x
  8. 31.05.2019 Parmenides 142b-144a: 2. Deduktion – Generation der Zahlen.

Aristoteles

  1. 07.06.2019 Einführung in die aristotelische Ontologie; Metaphysik XIII 1: Zahlen als Substanzen?
  2. 21.06.2019 Metaphysik XIII 2: Mathematische Gegenstände haben keine selbständige Existenz.
  3. 28.06.2019 Metaphysik XIII 3: Seinsweise der Gegenstände der Mathematik.
  4. 05.07.2019 Metaphysik XI 1: Bedeutungsweisen von Einheit: Unteilbarkeit und Maß.
  5. 12.07.2019 Metaphysik XI 2: Das Eine ist nicht Substanz.

(Optional) Analytica Posteriora I 5: Anwendung von mathematischen Beweisen auf verschiedene Untersuchungsgegenstände;Theorie der Proportionen.

(Optional) Analytica Posteriora I 27: Arithmetik ist genauer als Geometrie.

(Optional) Physik V 3: Zahlen, Punkte und Einheiten.

(Optional) Physik VI 1, 231a24 ff.: Punkte, Linien, Flächen.

(Optional) Physik VI 2: Antworten auf Zenons Paradoxon.

(Optional) Menon 86e-87c: “Methode”

Ausgewählte Einführungsliteratur

  1. Bostock, D. (2012): Aristotle’s Philosophy of Mathematics, in: The Oxford Handbook of Aristotle (ed. Ch. Shields), Oxford.
  2. Castelli, L. (Hg.) (2018): Aristotle: Metaphysics: Book Iota. Translation with an Introduction and Commentary, Oxford.
  3. Centrone, B.; Berti, E. (2005): IL Libro Iota (X) della Metafisica di Aristotele, Sankt Augustin.
  4. Cleary, J. J. (1995): Aristotle and Mathematics, Leiden, New York, Köln.
  5. Corcilius, K.; Rapp, Ch. (2011): Aristoteles Handbuch: Leben – Werk – Wirkung, Stuttgart.
  6. Fowler, H. D. (1987): The Mathematics of Plato’s Academy: A New Reconstruction, Oxford.
  7. Horn, Ch.; Müller, J.; Söder, J. (Hgg.) (2017): Platon-Handbuch: Leben – Werk – Wirkung, Stuttgart.
  8. Kullmann, W. (1998): Aristoteles und die moderne Wissenschaft, Stuttgart.
  9. Pritchard, P. (1995, 2010²): Plato’s Philosophy of Mathematics, Sankt Augustin.
  10. Toth, I. (2010): Fragmente und Spuren nichteuklidischer Geometrie bei Aristoteles, Berlin, New York.


Seneca über schlechte Laune

In der Vorbereitung für ein Seminar über die stoische Ethik, das ich im kommenden Semester geben werde, bin ich über einen von vielen interessanten Sätzen bei Seneca gestoßen. In Über die Ausgeglichenheit der Seele schreibt er:

Endlich gibt es noch zahlreiche Erscheinungsformen des Charakterfehlers, aber nur eine Folge: schlechter Laune zu sein. Dies ergibt sich aus der Unausgeglichenheit der Seele, ihrem unentschlossenen oder unerforschten Begehren, wenn entweder ihr Wagemut oder ihr Durchsetzungsvermögen nicht dem Begehren entspricht: dann bauen sie ganz auf Hoffnung. Stets sind sie ruhelos und unbeständig, wie die bei ihrer schwebenden Ungewissheit sich ergeben muss. Ihren egoistischen Zielen jagen sie auf ihrem ganzen Lebensweg nach, zu ehrlosen und schwierigen Unternehmungen erziehen und zwingen sie sich, und wenn ihren Mühen der Erfolg versagt bleibt, dann quält sie das Scheitern ihres schändlichen Handelns und nicht die Verwerflichkeit, sondern die Vergeblichkeit ihrer Wünsche schmerzt sie. (Übers. Gunermann, leicht verändert)

Ich denke, dies ist ein schönes Beispiel für die Subtilität und das feine Gefühl für psychologische Mechanismen und ethische Fragen bei dem Stoiker Seneca. Normalerweise assoziiert man mit der stoischen Schule ja die Gefühllosigkeit, die apatheia. Wenn sie sich aber die Zeit nehmen, sich etwas intensiver mit der Stoa zu beschäftigen, werden Sie sehen, dass viel mehr dahinter ist. Vielleicht folgen ein paar Einträge zur stoischen Ethik, aber bis dahin empfehle ich Ihnen: Seneca: De tranquillitate animi/ Über die Ausgeglichenheit der Seele, Lateinisch/ Deutsch, übersetzt von Heinz Gunermann

Römische Tipps für Lehrer

Liebe Leserinnen und Leser, ich habe in letzter Zeit etwas mehr über die Lehre nachgedacht und bin dabei auf diese Zitate gestoßen, die man schnell im Internet findet, auf die ich aber Ihre Aufmerksamkeit richten möchte. Sie stammen von Quintilian (35 – ~100 n. Chr.) und sind in seinem Hauptwerk Von der Ausbildung des Redners zu finden. Enjoy die römische Strenge:

So soll sich der Vater schon gleich nach der Geburt seines Kindes die größten Hoffnungen machen, umso mehr wird er sich auch um das Kind kümmern. Es wird immer behauptet, nur die wenigsten Menschen brächten genügend Intelligenz und Begabung mit, die meisten seien geistig so schwach und träge, dass sich eine Erziehung überhaupt nicht lohnt. Das ist aber grundverkehrt; vielmehr ist der größere Teil der Menschen von Natur aus aufnahmefähig und lernbereit. Das ist für einen Menschen so selbstverständlich wie für einen Vogel das Fliegen. Geistig nicht bildbare Menschen sind ebenso selten wie körperlich schwerbehinderte. Natürlich kommt es vor, daß sich Kinder nicht den anfänglichen Erwartungen gemäß entwickeln. Daran ist dann aber nicht die Naturanlage schuld, sondern die mangelnde Betreuung und Förderung.

Mit dem Lernen ist es wie mit einer bitteren Medizin; man nimmt sie leichter ein, wenn sie von freundlicher Hand verabreicht wird […]. Wie ein Vater soll sich der Lehrer seinen Schülern gegenüber fühlen. Er tritt ja an die Stelle derer, die ihm ihre Kinder anvertrauen, deshalb muss er versuchen, die Liebe der Schüler zu gewinnen. Auch läßt es sich gar nicht mit Worten ausdrücken, wieviel leichter wir denen folgen, die wir gern haben […]. Es muss ein Klima gegenseitiger Achtung und Zuneigung herrschen. Dann werden die Schüler gern und voller Elan zum Unterricht kommen. Sie werden es nicht als kränkend empfinden, wenn man sie verbessert, und sich freuen, wenn man sie lobt. Sie werden mit Eifer bei der Sache sein und es dem Lehrer danken, dass er sie in sein Herz geschlossen hat […]. Die Kinder sind schwach und wehrlos dem Unrecht ausgeliefert, daher darf niemand zuviele Rechte über sie eingeräumt bekommen.

Wenn sie mehr über die Tricks der Antiken in Sachen Lehre erfahren möchten und warum man nicht nur die unterrichtete Technik an die Schüler bringen sollte, sondern die gesamte Entwicklung zum guten Menschen (Buch XII, Kapitel 1) wichtig sei, dabei aber auch selbst einen fairen und in dieser Hinsicht strenger Charakter haben sollte, dann werfen Sie doch einmal einen Blick in

  • Quintilian: Von der Ausbildung des Redners. In 12 Büchern. Herausgegeben von Helmuth Rahn (2011)
  • oder online leider nur auf Englisch werfen.
  • oder lesen Sie einmal Plutarchs Moralia, der solche Dinge schreibt:

Der Geist ist nicht wie ein Gefäß, das gefüllt werden soll, sondern wie Holz, das lediglich entzündet werden will.

P. S. Das nächste Mal mache ich es mir mit den Zitaten nicht mehr so einfach, wie dieses Mal 😉

Seminar zu Platons Ethik 9. und 10. – Wieso können wir nur Gutes wollen?

Platon diskutiert in einigen seiner Dialoge Probleme des Willens. Und schauen Sie mal, was er beispielsweise im Gorgias (466d6-e2) dazu schreibt:

Ich meine nämlich, lieber Polos, die Redner und die Tyrannen haben in dem Staate sehr geringe Macht, wie ich eben erst sagte. Denn sie tun eigentlich nichts von dem, was sie wollen.

Oder im Protagoras (345d9-e3):

Ich wenigstens glaube dieses, daß kein weiser Mann der Meinung ist, irgendein Mensch tue Schlechtes aus freier Wahl oder vollbringe irgend etwas Böses oder Schlechtes aus freier Wahl, sondern sie wissen wohl, daß alle, welche Böses und Schlechtes tun, es unfreiwillig tun.

Merkwürdig, oder? Schließlich sehen Sie doch tagtäglich Menschen, die Schlechtes tun. Was möchte Platon Ihnen hier also sagen? Neben den beiden schwierigen Aussagen, “Tugend ist Wissen” und “alle Tugenden bilden eine Einheit”, konfrontiert er uns hier mit einer weiteren Äußerung, die gegen unsere Alltagseinsicht spricht: Sie können nichts Böses wollen.

Es gibt mindestens zwei Fragen, die sich aus den obigen Passagen ergeben: Die erste, dass es einen Unterschied zwischen Wissen und Meinen gebe. Wie das? Platon würde dem Tyrannen etwa sagen: “Du denkst zwar, dass du besonders mächtig bist, aber solange du nicht wirklich weißt, was gut und was schlecht ist, begehrst du etwas, das du nicht kennst. Deshalb kann nicht die Rede davon sein, dass du tust, was du willst. Denn du weiß ja nicht, was du willst”.

Die zweite Frage ergibt sich nicht mehr aus der Verbindung zwischen Wissen und Meinen, sondern aus der zwischen Wollen und Schlechtem. Kann Schlechtes gewollt werden? Im Dialog Menon schreibt Platon folgende Zeilen dazu, von denen ich nicht weiß, ob sie Sie und mich überzeugen:

Sokrates: Wirklich, Menon, glaubst du, dass einer, der das Böse erkennt, […] es doch begehrt?

Menon: Allerdings.

Sokrates: Was verstehst du denn unter »begehren«? Etwa, dass es ihm zuteil wird?

Menon: Dass es ihm zuteil wird; was denn sonst?

Sokrates: Und zwar, indem er glaubt, das Böse nütze demjenigen, dem es zuteil wird? Oder, indem er von dem Bösen die Erkenntnis hat, daß es dem schade, bei dem es sich findet?

Menon: Einige wohl, indem sie glauben, das Böse nütze, andere auch, indem sie erkennen, dass es schadet.

Offenbar denkt Menon so, wie Sie auch denken würden und zwar dass manche Leute Böses tun, weil sie nicht wissen, dass es schlecht ist und andere es tun, obwohl sie es wissen und jemandem schaden wollen. Soweit ist das eigentlich ganz verständlich, oder?

Aber Sokrates fragt weiter, ob Böses zu wollen nicht gleichzusetzen wäre mit “Schaden zu nehmen”.

Sokrates: Und weiter: Diejenigen, welche das Böse begehren, wie du behauptest, während sie doch glauben, daß das Böse dem schade, welchem es zuteil wird, erkennen doch wohl, dass sie von ihm Schaden nehmen werden?

Menon: Notwendig.

Sokrates: Diese aber, halten sie nicht die, welche Schaden leiden, für elend, sofern sie Schaden leiden?

Menon: Notwendig auch das.

Sokrates: Halten sie die Elenden aber nicht für unglücklich?

Menon: Ich meine doch.

Sokrates: Gibt es nun einen Menschen, welcher elend und unglücklich sein will?

Menon: Ich denke nicht, Sokrates.

Sokrates: Niemand also will das Böse, Menon; wenn anders er nicht ein solcher sein will. Denn was heißt elend sein anders, als das Böse begehren und es besitzen?

  • Glauben Sie, es heißt hier: Schlechtes für andere zu wollen impliziert, dass Sie selbst Schlechtes erreichen möchten? Schlechtes selbst zu erreichen kann aber niemand wollen. Dass es also eigentlich heißen müsste: Wenn Sie Schlechtes wollen, dann suchen sie eigentlich ein Gut für sich selbst, auch unter Inkaufnahme von Nachteilen für andere. Kann dies die Bedeutung sein, oder was denken Sie?
  • Ich würde von Ihnen außerdem gerne wissen, wie die Verbindung zwischen dieser Aussage ist und der, dass Unrecht leiden besser als Unrecht tun sei, die Sie aus dem Dialog Gorgias kennen.

Wenn Sie mehr darüber erfahren möchten, was Sokrates genau meint, empfehle ich Ihnen: Ch. Horn: Platons Konzept des Willens im Menon und im Gorgias, in: Ch. Pietsch (Hg.): Ethik des antiken Platonismus, 2013, S. 173-190.

Seminar zu Platons Ethik 7. und 8. – Der Philosoph: ein Landstreicher?

Ich habe Ihnen im letzten Beitrag versucht näherzubringen, was es mit den Tugenden auf sich hat, und warum wir sie als intrinsische Güter bezeichnen müssen. Nun, fänden wir in den platonischen Dialogen nur diese Ansicht, dann wäre die überblicksartige Darstellung hiermit beendet und sogar ziemlich klar, denke ich.

Aber es gibt mindestens zwei weitere Passagen, die eine andere Wendung unseres Lebensziels, über die Erreichung der tugendhaften Harmonie unserer Seele bzw. Seelenteile als intrinsischem Gut, beinhalten und mit derjenigen aus Politeia IV nicht direkt zu vereinbaren sind. Das verkompliziert die Diskussion dessen, was Platon uns durch Sokrates sagen möchte natürlich ungemein: Zum einen ist es eine Stelle aus dem Dialog Theaitetos und zum anderen eine Stelle aus dem Symposion; In der Ersteren wird nicht mehr nach der Tugend der drei Seelenteile gefragt, sondern es wird verlangt, dass man sich an Gott angleicht! Aber eben nur soweit es Menschen möglich ist (176a-b). Dies wird als “homoiôsis theô” bezeichnet und wenn Sie möchten, schauen Sie einmal auf die genannte Passage, die in der Philosophiegeschichte sehr wirkmächtig war. Sie müssten sich sogleich fragen, ob das Ziel der Angleichung an Gott den “irdischen Tugenden”, die wir letztes Mal besprachen, aber nicht entgegen steht. Ist diese Angleichung nicht etwa so intellektualisitisch zu verstehen, dass die unteren Seelenteile keine Rolle mehr dabei spielen? Es scheint hier nicht mehr um Harmonie zu gehen, sondern nur noch um vernünftige Betätigung.

Wenn wir bisher außerdem stillschweigend annehmen konnten, dass das Leben eines Philosophen irgendwie vorbildhaft sein könnte – schließlich wird in der Politeia auch das Ideal des Philosophenkönigs dargelegt, so erklärt Platon im Symposion, also in der zweiten Textstelle, die uns Probleme bereitet, wie die Priesterin Diotima Sokrates wiederum darlegt, dass der Philosoph überhaupt keinen vollendeten Status einnimmt, gar keine Art der Vollkommenheit hat, wie es für einen “harmonischen”, tugendhaften Menschen der Fall sein müsste.

Der “Gott” Eros, so sagt Diotima, wird zunächst als Philosoph bezeichnet und sogleich klargestellt, dass er im eigentlichen Sinn gar kein Gott sein kann, sondern metaphorisch als ein Zwischenwesen bezeichnet werden muss, das unruhig und umtriebig stets auf der Suche ist. Der Philosoph namens Eros sei der Sohn von Poros (~personifizierte “Wegbarkeit”, oder in gewisser Weise “Geschicklichkeit”) und Penia (~personifizierte “Bedürftigkeit”). Diese berühmte Diotima-Rede finden Sie im Symposion zwischen 201d-212c und da sie wirklich sehr inspirierend ist, würde ich Ihnen vorschlagen, sie auch einmal zu lesen. Hier ein Teil davon:

Erstens ist er [i. e. Eros] ständig arm, und viel fehlt daran, dass er zart und schön wäre, wie die meisten glauben, sondern er ist rauh und nachlässig im Äußeren, barfuß und obdachlos; er schläft ohne Zudecke auf der bloßen Erde, indem er vor den Türen auf den Straßen unter freiem Himmel nächtigt, gemäß der Natur seiner Mutter stets ein Genosse der Bedürftigkeit. Andererseits stellt er seinem Vater entsprechend dem Schönen und Guten nach, ist mannhaft, verwegen und beharrlich, ein gewaltiger Jäger, immer ein Ränkeschmied, der stets nach Einsicht trachtet und sie auch zu erwerben versteht, ein Philosoph sein ganzes Leben lang, ein gewaltiger Zauberer, Giftmischer und Sophist. Seine Art ist weder die eines Unsterblichen noch die eines Sterblichen, sondern an dem selben Tag blüht er bald und lebt er auf, wenn er Erfolg hat, bald stirbt er dahin, erwacht aber durch die Natur seines Vaters wieder zum Leben. Was er gewonnen hat, rinnt ihm immer wieder davon, so dass Eros niemals weder Mangel leidet noch Reichtum besitzt, vielmehr zwischen Weisheit und Unwissenheit in der Mitte steht. (übers. Franz Susemihl, 1856)

Es gibt eine Spannung zwischen den erreichbaren Tugenden, die wir in der Politeia kennengelernt haben und der Unerreichbarkeit des Ziels, das uns in diesen beiden genannten Stellen dargelegt wird. Das Problem mit beiden Passagen ist, dass sie uns scheinbar ein unerreichbares Ziel definieren. Denn zur ersten Textpassage ist zu sagen, dass Gott anders als der Mensch, so muss man bei Platon annehmen, keine anderen Seelenteile hat, die es in eine Harmonie zu bringen gilt. Aber wie sollen wir uns dann an Gott anzunähern versuchen? Oder vertritt Platon hier eine intellektualistische Position, die unser Lebensziel gewissermaßen in der Erkenntnis alleine sieht und zwar unter Missachtung unserer unteren Seelenteile, wie er meint? Dafür würde auch das Liniengleichnis, und vielleicht auch das Höhlengleichnis sprechen, aber ist es Eros vergönnt, an sein Ziel zu kommen?

Die Aussagen, die wir hier finden, scheinen also wenig mit den genau definierten Tugenden zutun zu haben, die wir in der Politeia gefunden haben: den sogenannten Kardinaltugenden Klugheit, Mut, Besonnenheit, Gerechtigkeit scheinen auf einer anderen Ebene zu stehen, als die Angleichung an Gott.

Möglicherweise können wir aber eine Lösung für diese Spannung in einem weiteren Dialog finden, und zwar im Phaidon 69a ff.:

[B]ester Simmias, daß uns also nur nicht dies gar nicht der rechte Tausch ist, um Tugend zu erhalten, Lust gegen Lust und Unlust gegen Unlust und Furcht gegen Furcht austauschen und Größeres gegen Kleineres, wie Münzen; sondern jenes die einzige rechte Münze, gegen die man alles dieses vertauschen muß, die Vernünftigkeit, und nur alles, was mit dieser und für diese verkauft ist und eingekauft, in Wahrheit allein Tapferkeit ist und Besonnenheit und Gerechtigkeit, und überhaupt wahre Tugend nun mit Vernünftigkeit ist, mag nun Lust und Furcht und alles übrige der Art dabei sein oder nicht dabei sein; werden aber diese, abgesondert von der Vernünftigkeit, gegen einander umgetauscht, eine solche Tugend dann immer nur ein Schattenbild ist und in der Tat knechtisch, die nichts Gesundes und Wahres an sich hat, das Wahre aber gerade Reinigung von dergleichen allem ist, und Besonnenheit und Gerechtigkeit und Tapferkeit und die Vernünftigkeit selbst Reinigungen sind. (Übers. Friedrich Schleiermacher, 1809)

Es scheint so, als könnte diese Phaidon-Passage uns einen Hinweise darauf geben, wie Platon einerseits behaupten kann, dass ein Gutes Leben in der Harmonie der Seelenteile besteht, andererseits ein besonderes Augenmerk auf unsere Vernunftfähigkeit alleine legt. Es scheint beinahe so, als nehme er verschiedene Tugendstufen an.

Ich möchte Sie auf diesem Hintergrund zwei Dinge fragen:

  1. Wenn es verschiedene Tugendstufen geben sollte, wie gehen wir mit den Aussagen aus den Frühdialogen um, dass die Tugend für ein Gutes Leben ausreicht? Ist die Tugend als Harmonie nicht bereits ein vollendeter Status?
  2. Ich glaube, dass die “lebensnahen” Probleme aus dem Dialog Gorgias und vom Beginn der Politeia, die wir in den letzten Beiträgen gelesen haben, und die sich um Macht und Status und gerechte Handlungen drehen eine starke Plausibilität haben. Mich würde allerdings interessieren, ob das, was wir heute gelesen haben, Sie noch überzeugt, oder ob Sie mittlerweile nicht mehr folgen würden und es für nicht mehr plausibel halten, was Platon und dort schreibt.